Questão 3. Considere as matrizes
\mathrm{A} 1=(11 ; 4-3), \quad \mathrm{A} 2=(20 ; 0-2), \quad \mathrm{A} 3=(2-1 ; 32), \quad \mathrm{A} 4=(30 ; 5-5).
Mostre que uma delas é combinação linear das demais e encontre uma base do subespaço vetorial gerado por

Passo 1

O enunciado nos dá quatro matrizes em M_{2}(\mathbb{R}):
A_{1}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]4 & -3\end{pmatrix},\quad A_{2}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[3pt]0 & -2\end{pmatrix},\quad A_{3}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[3pt]3 & 2\end{pmatrix},\quad A_{4}=\begin{pmatrix}3 & 0\\[3pt]5 & -5\end{pmatrix}.
Pede-se para mostrar que uma delas é combinação linear das demais e, em seguida, encontrar uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}. Para tratar dependência linear, identificamos cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^{4}.]

Passo 2

Associamos
v_{1}=(1,1,4,-3),\quad v_{2}=(2,0,0,-2),\quad v_{3}=(2,-1,3,2),\quad v_{4}=(3,0,5,-5).
Procuramos coeficientes \alpha_{1},\dots,\alpha_{4} tais que
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}+\alpha_{4}v_{4}=(0,0,0,0),
isto é, o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}+2\alpha_{2}+2\alpha_{3}+3\alpha_{4}=0,\\\ \alpha_{1}-\alpha_{3}=0,\\\\ 4\alpha_{1}+3\alpha_{3}+5\alpha_{4}=0,\\\\ -\,3\alpha_{1}-2\alpha_{2}+2\alpha_{3}-5\alpha_{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Para ver se há solução não trivial, formamos a matriz cujas colunas são v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} e calculamos seu determinante:
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 3\\\\ 1 & 0 & -1 & 0\\\\ 4 & 0 & 3 & 5\\\\ -3 & -2 & 2 & -5 \end{pmatrix}=48\neq 0.
Como o determinante é não-nulo, o único vetor (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}) que resolve o sistema é o trivial. Logo v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente independentes.

Passo 4

Em M_{2}(\mathbb{R}) a dimensão é 4. Como já temos quatro matrizes independentes, elas formam uma base de M_{2}(\mathbb{R}). Em particular, nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras três, pois isso violaria a independência linear.

Resposta

Uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\} é
\{\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3},\,A_{4}\}.

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