Questão 3. Considere as matrizes \mathrm{A} 1=(11 ; 4-3), \quad \mathrm{A} 2=(20 ; 0-2), \quad \mathrm{A} 3=(2-1 ; 32), \quad \mathrm{A} 4=(30 ; 5-5).
Mostre que uma delas é combinação linear das demais e encontre uma base do subespaço vetorial gerado por
Passo 1
O enunciado nos dá quatro matrizes em M_{2}(\mathbb{R}):
Pede-se para mostrar que uma delas é combinação linear das demais e, em seguida, encontrar uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\}. Para tratar dependência linear, identificamos cada matriz com um vetor em \mathbb{R}^{4}.]
Como o determinante é não-nulo, o único vetor (\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\alpha_{4}) que resolve o sistema é o trivial. Logo v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente independentes.
Passo 4
Em M_{2}(\mathbb{R}) a dimensão é 4. Como já temos quatro matrizes independentes, elas formam uma base de M_{2}(\mathbb{R}). Em particular, nenhuma delas pode ser escrita como combinação das outras três, pois isso violaria a independência linear.
Resposta
Uma base do subespaço gerado por \{A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}\} é