Questão 1 (1 ponto cada item). Diga se os limites existem, justificando. Caso existam, diga qual o seu valor.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan (x)\right)^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\Bigr)^{\frac{1}{x}}
Essa expressão é uma forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar logaritmo e transformar em limite de quociente, aplicando depois o teorema de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\Bigr)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo natural, obtém-se
\ln L = \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\bigr)}{x},
que é um quociente do tipo -\infty/\infty e, portanto, apto a usar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
\frac{d}{dx}\ln\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\Bigr) = -\frac{1}{1+x^2}\,\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)}, \quad \frac{d}{dx}x = 1.
Pelo teorema de L’Hôpital,
\ln L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(-\frac{1}{(1+x^2)\bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\bigr)}\Bigr).

Passo 4

Para x\to+\infty, sabemos que \tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\sim\tfrac{1}{x}. Logo
(1+x^2)\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\arctan(x)\Bigr)\sim x \quad\Longrightarrow\quad \ln L = \lim_{x\to+\infty}\bigl(-\tfrac{1}{x}\bigr)=0.
Assim L=e^{0}=1.

Resposta

O limite existe e vale 1.

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