Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado, e a direção e sentido em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\operatorname{tg}(x+2 y+3 z) no ponto P=(-5,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f(x,y,z)=\tan(x+2y+3z) no ponto P=(-5,1,1), bem como a direção e sentido em que isso ocorre. Para isso, vamos usar o gradiente de f, pois a magnitude do gradiente no ponto dá a taxa máxima, e sua direção indica onde ela ocorre.

Passo 2

A derivada de \tan(u) em relação a u é \operatorname{sec}^2(u). Pelo teorema da cadeia, o gradiente de \tan(x+2y+3z) é
\nabla f(x,y,z) =\operatorname{sec}^2(x+2y+3z)\,\nabla(x+2y+3z).
Como \nabla(x+2y+3z)=(1,2,3), obtemos
\nabla f(x,y,z)=\operatorname{sec}^2(x+2y+3z)\,(1,2,3).

Passo 3

No ponto P=(-5,1,1), o argumento u=x+2y+3z vale
u(-5,1,1)=-5+2\cdot1+3\cdot1=-5+2+3=0.
Logo, \operatorname{sec}^2(0)=1 e
\nabla f(-5,1,1)=(1,2,3).

Passo 4

A taxa de variação máxima de f no ponto é a norma de \nabla f em P:
\|\nabla f(-5,1,1)\| =\sqrt{1^2+2^2+3^2} =\sqrt{14}.

Passo 5

A direção e sentido de máxima variação são dados pelo vetor gradiente normalizado. Assim, o vetor unitário é
\frac{\nabla f(-5,1,1)}{\|\nabla f(-5,1,1)\|} =\frac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.

Resposta

A taxa de variação máxima de f em P é \sqrt{14}. Ela ocorre na direção do vetor (1,2,3), ou seja, no sentido do vetor unitário \dfrac{(1,2,3)}{\sqrt{14}}.

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