Determine a taxa de variação máxima de
no ponto dado, e a direção e sentido em que isso ocorre.
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação máxima de
no ponto
, bem como a direção e sentido em que isso ocorre. Para isso, vamos usar o gradiente de
, pois a magnitude do gradiente no ponto dá a taxa máxima, e sua direção indica onde ela ocorre.
Passo 2
A derivada de
em relação a
é
. Pelo teorema da cadeia, o gradiente de
é
Como
, obtemos
Passo 3
No ponto
, o argumento
vale
Logo,
e
Passo 4
A taxa de variação máxima de
no ponto é a norma de
em
:
Passo 5
A direção e sentido de máxima variação são dados pelo vetor gradiente normalizado. Assim, o vetor unitário é
Resposta
A taxa de variação máxima de
em
é
. Ela ocorre na direção do vetor
, ou seja, no sentido do vetor unitário
.