Determine o ponto do plano x+2 y+z=1 que está mais próximo da origem.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ponto do plano
x + 2y + z = 1
que está mais próximo da origem. Este é um problema de otimização com restrição, e vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, minimizando o quadrado da distância ao ponto (0,0,0) sujeito à equação do plano.

Passo 2

Definimos a função objetivo como o quadrado da distância à origem:
f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2,
e a restrição como
g(x,y,z) = x + 2y + z - 1 = 0.
Pelo método de Lagrange, impomos
\nabla f = \lambda\,\nabla g.

Passo 3

Calculamos os gradientes:
\nabla f = (2x,\,2y,\,2z), \qquad \nabla g = (1,\,2,\,1).
Igualando, obtemos o sistema
2x = \lambda,\quad 2y = 2\lambda,\quad 2z = \lambda,
e ainda deve valer
x + 2y + z = 1.

Passo 4

Das primeiras equações segue que
x = \frac{\lambda}{2},\quad y = \lambda,\quad z = \frac{\lambda}{2}.
Substituindo na restrição,
\frac{\lambda}{2} + 2\lambda + \frac{\lambda}{2} = 3\lambda = 1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{1}{3}.
Logo
x = \frac{1}{6},\quad y = \frac{1}{3},\quad z = \frac{1}{6}.

Resposta

O ponto do plano x + 2y + z = 1 mais próximo da origem é \bigl(\tfrac{1}{6},\,\tfrac{1}{3},\,\tfrac{1}{6}\bigr).

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