Determine o ponto do plano
que está mais próximo da origem.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ponto do plano
que está mais próximo da origem. Este é um problema de otimização com restrição, e vamos usar o método de multiplicadores de Lagrange, minimizando o quadrado da distância ao ponto
sujeito à equação do plano.
Passo 2
Definimos a função objetivo como o quadrado da distância à origem:
e a restrição como
Pelo método de Lagrange, impomos
Passo 3
Calculamos os gradientes:
Igualando, obtemos o sistema
e ainda deve valer
Passo 4
Das primeiras equações segue que
Substituindo na restrição,
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Resposta
O ponto do plano
mais próximo da origem é
.