Ache as derivadas parciais primeiras de f :
f(x, y, z)=x^{2} e^{2 y} \cos z

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais primeiras de f em relação a x, y e z.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y,z)=x^{2}e^{2y}\cos z.
  • Querem-se \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

O que significa derivada parcial (lembrando devagar e com calma).
  • A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x varia e y,z ficam fixos. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
  • Analogamente, para y e z mantém-se fixos os outros dois argumentos.
No dia da prova, pense: para \partial/\partial x trate y,z como constantes; para \partial/\partial y trate x,z como constantes; para \partial/\partial z trate x,y como constantes.

Passo 3

Revisão rápida das regras que vamos usar:
  1. Regra do produto: se g(x)=u(x)\,v(x) então g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). No caso de derivadas parciais, aplicamos tratando as partes que dependem da variável como funções e as que não dependem como constantes.
  2. Regra da cadeia: se h(y)=e^{u(y)} com u(y) função de y, então h'(y)=e^{u(y)}u'(y).
  3. Derivadas elementares usadas aqui: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x, \dfrac{d}{dz}\cos z=-\sin z, \dfrac{d}{dy}e^{2y}=2e^{2y} (pela regra da cadeia com u(y)=2y, u'(y)=2).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Observação prática: escreva f como produto de fatores e identifique quais dependem de x. Aqui
f(x,y,z)=\bigl(x^{2}\bigr)\cdot\bigl(e^{2y}\cos z\bigr).
No cálculo de \partial/\partial x os fatores e^{2y} e \cos z são constantes (porque dependem só de y e z). Portanto aplicamos a derivada só em x^{2}:
  • \dfrac{\partial}{\partial x}x^{2}=2x.
    Multiplicando pelo que ficou constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x\;e^{2y}\cos z.
Explicando: foi usada a regra do produto de forma trivial (um fator varia, o outro é constante).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Agora x e z são considerados constantes. Escrevemos novamente
f(x,y,z)=x^{2}\cdot\bigl(e^{2y}\bigr)\cdot\cos z.
Aqui apenas e^{2y} depende de y. Aplicamos a regra da cadeia:
  • Se u(y)=2y então \dfrac{d}{dy}e^{u(y)}=e^{u(y)}u'(y)=e^{2y}\cdot 2.
    Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=x^{2}\cdot\bigl(2e^{2y}\bigr)\cdot\cos z = 2x^{2}e^{2y}\cos z.
Observação prática: multiplicar pelo fator constante x^{2}\cos z.

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial z}.
Agora x e y são constantes. Na expressão
f(x,y,z)=x^{2}e^{2y}\cos z
apenas \cos z depende de z. A derivada de \cos z é -\sin z. Portanto
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=x^{2}e^{2y}\cdot\bigl(-\sin z\bigr) = -x^{2}e^{2y}\sin z.

Passo 7

Resumo final — verifique sempre que cada derivada trata só a variável indicada como variável e mantém as outras fixas. Isso é o que costuma confundir no início, mas com prática vira automático. Um truque para calcular rápido: “sublinhe” mentalmente (ou no rascunho) as partes que dependem da variável que está sendo diferenciada e aplique as regras elementares só nelas.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=2x\,e^{2y}\cos z
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=2x^{2}e^{2y}\cos z
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-x^{2}e^{2y}\sin z

Exercícios relacionados