Ache as derivadas parciais primeiras de
:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar as derivadas parciais primeiras de
em relação a
,
e
.
Informações dadas:
- A função é
- Querem-se
, e .
Passo 2
O que significa derivada parcial (lembrando devagar e com calma).
- A derivada parcial de
em relação a é a taxa de variação de quando só varia e ficam fixos. Formalmente:
- Analogamente, para
e mantém-se fixos os outros dois argumentos.
No dia da prova, pense: para
trate
como constantes; para
trate
como constantes; para
trate
como constantes.
Passo 3
Revisão rápida das regras que vamos usar:
- Regra do produto: se
então . No caso de derivadas parciais, aplicamos tratando as partes que dependem da variável como funções e as que não dependem como constantes. - Regra da cadeia: se
com função de , então . - Derivadas elementares usadas aqui:
, , (pela regra da cadeia com , ).
Passo 4
Cálculo de
.
Observação prática: escreva
como produto de fatores e identifique quais dependem de
. Aqui
No cálculo de
os fatores
e
são constantes (porque dependem só de
e
). Portanto aplicamos a derivada só em
:
-
.
Multiplicando pelo que ficou constante:
Explicando: foi usada a regra do produto de forma trivial (um fator varia, o outro é constante).
Passo 5
Cálculo de
.
Agora
e
são considerados constantes. Escrevemos novamente
Aqui apenas
depende de
. Aplicamos a regra da cadeia:
- Se
então .
Logo
Observação prática: multiplicar pelo fator constante
.
Passo 6
Cálculo de
.
Agora
e
são constantes. Na expressão
apenas
depende de
. A derivada de
é
. Portanto
Passo 7
Resumo final — verifique sempre que cada derivada trata só a variável indicada como variável e mantém as outras fixas. Isso é o que costuma confundir no início, mas com prática vira automático. Um truque para calcular rápido: “sublinhe” mentalmente (ou no rascunho) as partes que dependem da variável que está sendo diferenciada e aplique as regras elementares só nelas.