Ache as derivadas das seguintes funções:
f(x)=(1-x)(1-x^2)(1-x^3)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (1-x),l(1-x^2r),l(1-x^3r)^3
Aqui vamos usar a regra do produto para três fatores e a regra da cadeia para o fator l(1-x^3r)^3. Definimos
u(x)=1-x, v(x)=1-x^2, w(x)=l(1-x^3r)^3,
de modo que f(x)=u(x),v(x),w(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada “bloco”:
u'(x) = ddx(1-x) = -1,
v'(x) = ddx(1-x^2) = -2x,
w'(x) = ddxl(1-x^3r)^3 = 3l(1-x^3r)^2 cdot ddx(1-x^3) = 3l(1-x^3r)^2cdot(-3x^2) = -9x^2l(1-x^3r)^2

Passo 3

Aplicamos a regra do produto para três funções:
f'(x) = u'(x),v(x),w(x) + u(x),v'(x),w(x) + u(x),v(x),w'(x)

Passo 4

Substituindo u, v, w e suas derivadas, obtemos
f'(x) = l(-1r),(1-x^2),(1-x^3)^3 + (1-x),l(-2xr),(1-x^3)^3 + (1-x),(1-x^2),l(-9x^2(1-x^3)^2r)
Fatoramos o termo comum (1-x^3)^2:
f'(x) = -(1-x^3)^2l[(1-x^2)(1-x^3) + 2x(1-x)(1-x^3) + 9x^2(1-x)(1-x^2)r]

Resposta

boxed f'(x) = -(1-x^3)^2l[(1-x^2)(1-x^3) + 2x(1-x)(1-x^3) + 9x^2(1-x)(1-x^2)r]

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