Ache as derivadas das seguintes funções:

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=ln(x^2+x+2raiz[3]x-3). O conteúdo envolve derivada de logaritmo e regra da cadeia; vamos usar propriedades de logaritmos para simplificar antes de derivar.

Passo 2

Primeiro, lembramos que ln(tfracAB)=ln A - ln B e que raiz[3]x-3=(x-3)^1/3. Assim reescrevemos:
f(x)=ln(x^2+x+2) - lnl((x-3)^1/3r)
E como ln((x-3)^1/3)=tfrac13ln(x-3), temos:
f(x)=ln(x^2+x+2) - tfrac13ln(x-3)

Passo 3

Agora derivamos cada termo separadamente. Para ln(x^2+x+2), aplicamos a regra de derivada de logaritmo l(ln ur)'=u'/u:
ddxln(x^2+x+2)=2x+1x^2+x+2

Passo 4

Para tfrac13ln(x-3), a constante tfrac13 sai na frente e usamos l(ln(x-3)r)'=1/(x-3):
ddxl(tfrac13ln(x-3)r)=tfrac13cdot1x-3

Passo 5

Como o segundo termo estava subtraindo, juntamos os resultados:
f'(x)=2x+1x^2+x+2 - 13(x-3)

Resposta

f’(x)=\frac{2x+1}{x^{2}+x+2}-\frac{1}{3(x-3)}

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