Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se f e g são duas funções contínuas em uma região R então
integral duplaR f(x, y) g(x, y) d A=(integral duplaR f(x, y) d A)(integral duplaR g(x, y) d A)

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
“Se f e g são contínuas em R, então ∬_R f(x,y)g(x,y) dA = (∬_R f(x,y) dA)(∬_R g(x,y) dA)”.
O assunto é integrais duplas e propriedades lineares de integrais.

Passo 2

A afirmação não é uma propriedade geral de integrais duplas. Para integráveis em geral vale ∬(f+g)= ∬f + ∬g e ∬(c·f)= c·∬f, mas não existe regra que transforme a integral do produto em produto das integrais. Então suspeitamos que seja falsa e vamos dar um contra-exemplo.

Passo 3

Escolhemos como região R o quadrado unitário
R = [0,1]times[0,1],
e definimos as funções contínuas
f(x,y) = x, g(x,y) = x

Passo 4

Agora calculamos a integral do produto f·g sobre R:
integral duplaR f(x,y),g(x,y),dA = integral dupla[0,1]^2 xcdot x ,dA = integral dupla[0,1]^2 x^2 ,dx,dy
Como integrais são iteradas, temos
integral0^1integral0^1 x^2 ,dx,dy = integral0^1l[tfracx^33r]0^1 dy = integral0^1 tfrac13 ,dy = tfrac13

Passo 5

Em seguida calculamos separadamente as integrais de f e de g:
integral duplaR f(x,y),dA = integral dupla[0,1]^2 x,dx,dy = l[tfracx^22r]0^1 cdot l[yr]0^1 = tfrac12 cdot 1 = tfrac12,
e como g=f, temos
integral duplaR g(x,y),dA = tfrac12

Passo 6

O produto das integrais separadas é
l(integral duplaR f,dAr)cdotl(integral duplaR g,dAr) = tfrac12 cdot tfrac12 = tfrac14
Como tfrac13 neq tfrac14, a igualdade proposta falha neste caso.

Passo 7

Portanto, encontramos um contra-exemplo que mostra que a afirmação é falsa em geral.

Resposta

Falsa. Por exemplo, em R=[0,1]×[0,1] com f(x,y)=x e g(x,y)=x temos ∬_R f g = 1/3 mas (∬_R f)(∬_R g)=1/4, logo não são iguais.

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