Classifique as afirmações entre verdadeiro ou falso. Se a afirmação for verdadeira demonstre, se for falsa dê um contra-exemplo.
Se
e
são duas funções contínuas em uma região
então
Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
“Se f e g são contínuas em R, então ∬_R f(x,y)g(x,y) dA = (∬_R f(x,y) dA)(∬_R g(x,y) dA)”.
O assunto é integrais duplas e propriedades lineares de integrais.
Passo 2
A afirmação não é uma propriedade geral de integrais duplas. Para integráveis em geral vale ∬(f+g)= ∬f + ∬g e ∬(c·f)= c·∬f, mas não existe regra que transforme a integral do produto em produto das integrais. Então suspeitamos que seja falsa e vamos dar um contra-exemplo.
Passo 3
Escolhemos como região R o quadrado unitário
e definimos as funções contínuas
Passo 4
Agora calculamos a integral do produto f·g sobre R:
Como integrais são iteradas, temos
Passo 5
Em seguida calculamos separadamente as integrais de f e de g:
e como g=f, temos
Passo 6
O produto das integrais separadas é
Como
, a igualdade proposta falha neste caso.
Passo 7
Portanto, encontramos um contra-exemplo que mostra que a afirmação é falsa em geral.
Resposta
Falsa. Por exemplo, em R=[0,1]×[0,1] com f(x,y)=x e g(x,y)=x temos ∬_R f g = 1/3 mas (∬_R f)(∬_R g)=1/4, logo não são iguais.