Um corredor de largura a forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura b. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar pela esquina?

Passo 1

O enunciado pede: temos dois corredores que se cruzam em ângulo reto, um com largura a e outro com largura b. Queremos encontrar o maior comprimento de uma barra fina que possa ser empurrada do primeiro corredor para o segundo, girando na esquina. É um problema clássico de otimização usando cálculo.

Passo 2

Para modelar a situação, definimos um ângulo phi entre a barra e a parede do corredor de largura b. Quando a barra encosta simultaneamente nas duas paredes do canto interno, a parte que fica no corredor de largura a tem comprimento a/sin(phi) e a parte no corredor de largura b tem comprimento b/cos(phi). Assim obtemos a função do comprimento total
L(phi)=asin(phi)+bcos(phi)

Passo 3

Buscamos o menor valor de L(phi), pois essa será a maior barra que cabe. Para isso, derivamos em relação a phi e igualamos a zero:
L'(phi)=-acos(phi)sin^2(phi)+bsin(phi)cos^2(phi)=0

Passo 4

Multiplicando por sin^2(phi)cos^2(phi) obtemos
-acos^3(phi)+bsin^3(phi)=0Rightarrowtan^3(phi)=ab

Passo 5

Da relação acima,
sin(phi)=a^1/3(a^2/3+b^2/3)^1/2,cos(phi)=b^1/3(a^2/3+b^2/3)^1/2

Passo 6

Substituindo essas expressões em L(phi) chega-se ao valor mínimo:
Lmin=(a^2/3+b^2/3)^3/2

Resposta

O comprimento da maior barra que consegue passar pela esquina é (a^2/3+b^2/3)^3/2.

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