Um corredor de largura
forma um ângulo reto com um segundo corredor de largura
. Uma barra longa, fina e pesada deve ser empurrada do piso do primeiro corredor para o segundo. Qual o comprimento da maior barra que pode passar pela esquina?
Passo 1
O enunciado pede: temos dois corredores que se cruzam em ângulo reto, um com largura
e outro com largura
. Queremos encontrar o maior comprimento de uma barra fina que possa ser empurrada do primeiro corredor para o segundo, girando na esquina. É um problema clássico de otimização usando cálculo.
Passo 2
Para modelar a situação, definimos um ângulo
entre a barra e a parede do corredor de largura
. Quando a barra encosta simultaneamente nas duas paredes do canto interno, a parte que fica no corredor de largura
tem comprimento
e a parte no corredor de largura
tem comprimento
. Assim obtemos a função do comprimento total
Passo 3
Buscamos o menor valor de
, pois essa será a maior barra que cabe. Para isso, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Multiplicando por
obtemos
Passo 5
Da relação acima,
Passo 6
Substituindo essas expressões em
chega-se ao valor mínimo:
Resposta
O comprimento da maior barra que consegue passar pela esquina é
.