Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica A a uma ferrovia que passa por uma cidade B. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam m vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo alpha a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma m>1.

Passo 1

O enunciado pede a construção de uma estrada reta de A até um ponto C sobre a ferrovia e depois seguir pela ferrovia de C até B, de modo a minimizar o custo total de frete. O custo por unidade na estrada é m vezes maior que na ferrovia, com m>1. Vamos usar otimização de funções (derivadas) para achar o ponto C e então extrair o ângulo α formado pela estrada com a ferrovia.

Passo 2

Para modelar o problema, colocamos a ferrovia no eixo x. Seja A=(0,d), onde d>0 é a distância perpendicular de A à ferrovia, e B=(x,0). Chamamos C=(t,0) o ponto de conexão. A estrada AC tem comprimento raizt^2+d^2 e o trecho de ferrovia de C até B tem comprimento |x-t|.

Passo 3

O custo total como função de t (supondo C entre A e B, ou seja t≤x) é
T(t)=mraizt^2+d^2+(x-t)
Para minimizar, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
T'(t)=mtraizt^2+d^2-1=0
Isso dá
traizt^2+d^2=1m

Passo 4

O ângulo α que a estrada AC faz com a ferrovia (eixo x) satisfaz
cosalpha=adjhip=traizt^2+d^2
Substituindo a condição de ótimo, obtemos
cosalpha=1m

Passo 5

Portanto o ângulo ótimo é
alpha=arccosl(1mr)

Resposta

alpha=arccosl(1/mr)

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