Deve-se construir uma estrada ligando uma fábrica
a uma ferrovia que passa por uma cidade
. Assumindo-se que a estrada e a ferrovia sejam ambas retilíneas, e que os custos de frete por unidade de distância sejam
vezes maiores na estrada do que na ferrovia, encontre o ângulo
a que a estrada deve ser conectada à ferrovia de modo a minimizar o custo total do frete da fábrica até a cidade. Assuma
.
Passo 1
O enunciado pede a construção de uma estrada reta de A até um ponto C sobre a ferrovia e depois seguir pela ferrovia de C até B, de modo a minimizar o custo total de frete. O custo por unidade na estrada é m vezes maior que na ferrovia, com m>1. Vamos usar otimização de funções (derivadas) para achar o ponto C e então extrair o ângulo α formado pela estrada com a ferrovia.
Passo 2
Para modelar o problema, colocamos a ferrovia no eixo x. Seja A=(0,d), onde d>0 é a distância perpendicular de A à ferrovia, e B=(x,0). Chamamos C=(t,0) o ponto de conexão. A estrada AC tem comprimento
e o trecho de ferrovia de C até B tem comprimento
.
Passo 3
O custo total como função de t (supondo C entre A e B, ou seja t≤x) é
Para minimizar, derivamos em relação a t e igualamos a zero:
Isso dá
Passo 4
O ângulo α que a estrada AC faz com a ferrovia (eixo x) satisfaz
Substituindo a condição de ótimo, obtemos
Passo 5
Portanto o ângulo ótimo é