Ache as derivadas das seguintes funções:
y=x cdot(sin (ln (x)))-cos (ln (x)))

Passo 1

O problema pede para encontrar a derivada de y em função de x, sendo y = x·(sin(ln(x)) - cos(ln(x))). O conteúdo envolve derivação usando a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos duas funções: f(x) = x e g(x) = sin(ln(x)) - cos(ln(x)). Pela regra do produto temos:
y' = f'(x),g(x) + f(x),g'(x)
Como f’(x) = 1, isso fica
y' = l(sin(ln(x)) - cos(ln(x))r) + x,g'(x)

Passo 3

Agora vamos calcular g’(x) via regra da cadeia.
g'(x) = ddx[sin(ln(x))] - ddx[cos(ln(x))]
Derivando cada termo:
ddx[sin(ln(x))] = cos(ln(x)) cdot 1x
ddx[cos(ln(x))] = -sin(ln(x)) cdot 1x
Portanto
g'(x) = cos(ln(x))x + sin(ln(x))x = cos(ln(x)) + sin(ln(x))x

Passo 4

Substituindo g’(x) em y’ e simplificando:
y' = sin(ln(x)) - cos(ln(x)) + x cdot cos(ln(x)) + sin(ln(x))x
Cancelando o x no segundo termo:
y' = sin(ln(x)) - cos(ln(x)) + cos(ln(x)) + sin(ln(x))
Juntando termos semelhantes resulta em 2·sin(ln(x)).

Resposta

y' = 2,sin(ln(x))

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