Calcule a integral
integral0^3 integral0^4(4 x+3 y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla da função f(x,y)=4x+3y sobre o retângulo 0≤x≤4 e 0≤y≤3. O conteúdo aqui é integração iterada (Fubini), e vamos precisar integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Começamos integrando em x. Primeiro escrevemos a integral interna em bloco para não misturar texto:
integral0^4 (4x + 3y) , dx = integral0^4 4x , dx + integral0^4 3y , dx
Para a primeira parte:
integral0^4 4x , dx = 4 cdot x^22 |0^4 = 4 cdot 8 = 32
Para a segunda parte y é constante em relação a x:
integral0^4 3y , dx = 3y cdot x |0^4 = 12y
Logo a integral interna vira 32 + 12y.

Passo 3

Agora integramos em y a expressão obtida:
integral0^3 (32 + 12y) , dy = integral0^3 32 , dy + integral0^3 12y , dy
Calculando cada termo:
integral0^3 32 , dy = 32y |0^3 = 96
integral0^3 12y , dy = 12 cdot y^22 |0^3 = 6 cdot 9 = 54
Somando os resultados, obtemos 96 + 54 = 150.

Resposta

150

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