Ache a diferencial de f(x)=x+1e^x.
R: d f=-xe^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a diferencial da função f(x) = x + 1e^x . Aqui, o conteúdo envolvido é o cálculo diferencial, especialmente a derivação de funções que são quocientes. Vamos precisar aplicar a regra do quociente para achar a derivada e, depois, expressar a diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a diferencial. A diferencial de uma função f(x) é dada por df = f'(x) , dx , onde f'(x) é a derivada de f(x) em relação a x . Então, nosso objetivo é encontrar f'(x) para depois multiplicar por dx .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada f'(x) da função f(x) = x + 1e^x . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função u(x)v(x) , a derivada é:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Aqui, u(x) = x + 1 e v(x) = e^x . Vamos calcular u' e v' :
u'(x) = ddx(x + 1) = 1
v'(x) = ddx(e^x) = e^x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = 1 cdot e^x - (x + 1) cdot e^x(e^x)^2 = e^x - (x + 1)e^xe^2x
Simplificando o numerador:
e^x - (x + 1)e^x = e^x(1 - x - 1) = -x e^x
Então, temos:
f'(x) = -x e^xe^2x = -xe^x

Passo 5

Agora que encontramos a derivada f'(x) = -xe^x , podemos escrever a diferencial df :
df = f'(x) , dx = -xe^x , dx

Resposta

d f = -xe^x , d x

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