Seja f(x)=llx^2 cdot cos (1x), & se x>0 0, & se x <= 0. A função f é diferenciável em x=0 ? A função f^prime é contínua em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define a função em partes
f(x)= x^2cosl(1/xr),&x>00,&x<=0
E pergunta se f é diferenciável em x=0 e se f’ é contínua em x=0. O conteúdo envolvido é definição de derivada em um ponto e continuidade da derivada.

Passo 2

Para ver se f é diferenciável em 0, usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Quando h>0 temos
f(h)-0h=h^2cos(1/h)h=hcosl(1/hr),
que tende a 0 quando h→0+. Para h<0, f(h)=0 então
f(h)-0h=0
Logo o limite existe e vale 0, ou seja f’(0)=0.

Passo 3

Agora obtemos f’(x) para x>0 aplicando regra do produto e cadeia a x^2·cos(1/x):
  1. derivada de x^2 é 2x, então dá 2x·cos(1/x).
  2. derivada de cos(1/x) é -sin(1/x)·(-1/x2)=sin(1/x)/x2, e ao multiplicar por x^2 sobra sin(1/x).
Portanto, para x>0 temos
f'(x)=2xcosl(1/xr)+sinl(1/xr)

Passo 4

Para a continuidade de f’ em 0, analisamos
limxto0+f'(x)=limxto0+l(sin(1/x)+2xcos(1/x)r)
O termo 2x·cos(1/x)→0, mas sin(1/x) oscila entre -1 e 1 sem limite. Logo esse limite não existe, enquanto f’(0)=0. Concluímos que f’ não é contínua em x=0.

Resposta

A função f é diferenciável em x=0 (f’(0)=0), mas f’ não é contínua em x=0.

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