Seja
. A função
é diferenciável em
? A função
é contínua em
?
Passo 1
O enunciado define a função em partes
f(x)=
E pergunta se f é diferenciável em x=0 e se f’ é contínua em x=0. O conteúdo envolvido é definição de derivada em um ponto e continuidade da derivada.
f(x)=
E pergunta se f é diferenciável em x=0 e se f’ é contínua em x=0. O conteúdo envolvido é definição de derivada em um ponto e continuidade da derivada.
Passo 2
Para ver se f é diferenciável em 0, usamos a definição
Quando h>0 temos
que tende a 0 quando h→0+. Para h<0, f(h)=0 então
Logo o limite existe e vale 0, ou seja f’(0)=0.
Passo 3
Agora obtemos f’(x) para x>0 aplicando regra do produto e cadeia a x^2·cos(1/x):
-
derivada de x^2 é 2x, então dá 2x·cos(1/x).
-
derivada de cos(1/x) é -sin(1/x)·(-1/x2)=sin(1/x)/x2, e ao multiplicar por x^2 sobra sin(1/x).
Portanto, para x>0 temos
Passo 4
Para a continuidade de f’ em 0, analisamos
O termo 2x·cos(1/x)→0, mas sin(1/x) oscila entre -1 e 1 sem limite. Logo esse limite não existe, enquanto f’(0)=0. Concluímos que f’ não é contínua em x=0.
Resposta
A função f é diferenciável em x=0 (f’(0)=0), mas f’ não é contínua em x=0.