Em cada caso, determine se é contínua em e se é diferenciável em :
(b)
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos verificar se a função é contínua e diferenciável em . A função é definida de forma diferente para valores menores e maiores ou iguais a 1:
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em x = 1 . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda ( x to 1^- ) e pela direita ( x to 1^+ ) for igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda, x to 1^- :
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (-dfracx2) = -dfrac12
Passo 4
Agora, o limite pela direita, x to 1^+ :
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ dfrac1raizx = dfrac11 = 1
Passo 5
Comparando os dois limites:
limx to 1^- f(x) = -dfrac12 e limx to 1^+ f(x) = 1
Como esses limites não são iguais, o limite geral de f(x) quando x se aproxima de 1 não existe.
Passo 6
Como o limite não existe, a função f não é contínua em x = 1 . E se uma função não é contínua em um ponto, ela não pode ser diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função f não é contínua em x = 1 e, portanto, também não é diferenciável em x = 1 .