Em cada caso, determine se f é contínua em x=1 e se f é diferenciável em x=1 :
(b) f(x)=cc-x2, & se x<1 1raizx, & se x >= 1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de cálculo onde precisamos verificar se a função f é contínua e diferenciável em x = 1 . A função é definida de forma diferente para valores menores e maiores ou iguais a 1:
f(x) = -dfracx2, & se x < 1 dfrac1raizx, & se x >= 1
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de continuidade e diferenciabilidade em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função em x = 1 . Uma função é contínua em um ponto se o limite quando x se aproxima desse ponto pela esquerda ( x to 1^- ) e pela direita ( x to 1^+ ) for igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, x to 1^- :
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (-dfracx2) = -dfrac12

Passo 4

Agora, o limite pela direita, x to 1^+ :
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ dfrac1raizx = dfrac11 = 1

Passo 5

Comparando os dois limites:
limx to 1^- f(x) = -dfrac12 e limx to 1^+ f(x) = 1
Como esses limites não são iguais, o limite geral de f(x) quando x se aproxima de 1 não existe.

Passo 6

Como o limite não existe, a função f não é contínua em x = 1 . E se uma função não é contínua em um ponto, ela não pode ser diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função f não é contínua em x = 1 e, portanto, também não é diferenciável em x = 1 .

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