Usando diferencial, calcule um valor aproximado de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular, usando diferenciais, um valor aproximado de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde usamos a derivada para aproximar mudanças em funções. Para resolver, vamos precisar entender como usar a derivada da função logarítmica para fazer essa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que vamos trabalhar. Seja
. Queremos aproximar o valor de
, ou seja, . Para isso, vamos usar a fórmula dos diferenciais.
Passo 3
A fórmula dos diferenciais é dada por:
Aqui,
é a variação aproximada de
,
é a derivada de
no ponto
, e
é a variação em
a partir de
.
Passo 4
Precisamos escolher um ponto
próximo de
onde a gente saiba calcular
. Um valor conveniente é
, porque
, e é fácil de trabalhar com ele.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da nossa função
. A derivada de
é:
No ponto
, temos:
Passo 6
Em seguida, calculamos a variação
. Como
e queremos aproximar
, então:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula dos diferenciais:
Isso significa que: