Ache a diferencial de f(x)=\frac{x+1}{e^{x}}.
24) Usando diferencial, calcule um valor aproximado de \ln (0,95).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a diferencial de
f(x)=\frac{x+1}{e^{x}},
ou seja df em função de dx; (b) usar diferenciais para aproximar \ln(0,95). Para isso vamos precisar de regra do produto/quotiente para derivadas e da fórmula da diferencial de \ln(x).

Passo 2

Reescrevendo
f(x)= (x+1)e^{-x},
temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+1\bigr)\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x}\bigr) =1\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot(-e^{-x}) =(1-(x+1))e^{-x}=-x\,e^{-x}.
Logo a diferencial é
df=f'(x)\,dx=-x\,e^{-x}\,dx.

Passo 3

Para aproximar \ln(0,95), seja g(x)=\ln(x). A diferencial é
dg=g'(x)\,dx=\frac{1}{x}\,dx.
Escolhendo o ponto base x_0=1, temos g(1)=0 e dx=0,95-1=-0,05. Assim
dg\bigl|_{x=1}=\frac{1}{1}\cdot(-0,05)=-0,05
e
\ln(0,95)=g(1+dx)\approx g(1)+dg=0-0,05=-0,05.

Resposta

df=-x\,e^{-x}\,dx
\ln(0,95)\approx -0,05

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