Usando diferencial, calcule um valor aproximado de \ln (0,95).
25) Para um certo tipo de lápis a equação de oferta é x=1000\left(3 p^{2}+2 p\right), onde x representa a quantidade de lápis e p, o preço por unidade. Se o preço por lápis aumentou de \ 0,20 para$0,21$, estime a alteração na oferta.

Passo 1

Temos dois problemas de aproximação usando diferenciais.
  1. Aproximar \ln(0,95) usando a diferencial de f(x)=\ln(x) em torno de x_{0}=1.
  2. Estimar a variação na oferta dada por x(p)=1000\bigl(3p^{2}+2p\bigr) quando p varia de \$0,20 para \$0,21, usando a diferencial dx = x'(p)\,dp.

Passo 2

Para \ln(0,95): seja f(x)=\ln(x). A derivada é
f'(x)=\frac{1}{x}.
Em x_{0}=1 temos f'(1)=1 e dx=0,95-1=-0,05. Pela diferencial,
df = f'(1)\,dx = 1\cdot(-0,05) = -0,05,
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\ln(0,95)\approx \ln(1) + df = 0 + (-0,05) = -0,05.

Passo 3

Para a oferta x(p)=1000\bigl(3p^{2}+2p\bigr), calculamos
\frac{dx}{dp} = 1000\bigl(6p+2\bigr).
Em p_{0}=0,20 isto é
x'(0,20) = 1000\bigl(6\cdot0,20 +2\bigr) = 1000\cdot3,2 = 3200.
Como dp = 0,21-0,20 = 0,01, a variação aproximada é
\Delta x \approx x'(0,20)\,dp = 3200 \times 0,01 = 32.

Resposta

\ln(0,95)\approx -0,05
A alteração na oferta é \Delta x\approx 32 lápis.

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