Usando diferencial, calcule um valor aproximado de \ln (0,95).
25) Para um certo tipo de lápis a equação de oferta é x=1000\left(3 p^{2}+2 p\right), onde x representa a quantidade de lápis e p, o preço por unidade. Se o preço por lápis aumentou de \ 0,20 para$0,21$, estime a alteração na oferta.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas, ambas usando a ideia de diferencial (ou aproximação linear):
  1. Aproximar \ln(0,95).
  2. Estimar a variação da oferta x quando o preço p passa de \$0,20 para \$0,21, sabendo que
x(p)=1000\bigl(3p^2+2p\bigr).
O conteúdo central é usar a fórmula do diferencial
\mathrm df = f'(a)\,\mathrm d x
e, no segundo caso,
\Delta x \approx x'(p)\,\Delta p.

Passo 2

Para \ln(0,95) definimos f(x)=\ln(x) e escolhemos o ponto de referência a=1, pois \ln(1)=0 é fácil de lembrar.
Então
f'(x)=\frac{1}{x},
e
\mathrm d x = x - a = 0,95 - 1 = -0,05.
Pelo diferencial,
\mathrm df = f'(1)\,\mathrm d x = \frac{1}{1}\cdot(-0,05) = -0,05.
Logo a aproximação é
\ln(0,95)\approx \ln(1) + \mathrm df = 0 - 0,05 = -0,05.

Passo 3

Para a oferta x(p)=1000(3p^2+2p) calculamos a derivada em relação a p:
x'(p)=1000\,(6p+2).
O preço aumenta de p=0,20 para p=0,21, logo
\Delta p=0,21-0,20=0,01.
A variação aproximada na oferta é
\Delta x \approx x'(0,20)\,\Delta p =1000\bigl(6\cdot0,20+2\bigr)\cdot0,01 =1000\cdot3,2\cdot0,01 =32.

Resposta

\ln(0,95)\approx -0,05.
A oferta aumenta, em média, em cerca de 32 lápis.

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