Verifique que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
no intervalo
. Justifique.
21) Calcule um valor aproximado para
, usando diferencial.
21) Calcule um valor aproximado para
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que o Teorema do Valor Médio (TVM) não vale para a função
em . - Aproximar
usando diferencial.
Isso envolve conceitualmente o TVM (continuidade eme diferenciabilidade em ) e o uso de linearização via diferencial.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do TVM para
:
- Em todo ponto de
, é contínua, pois é composta de funções contínuas. - A derivada é
Esse
não está definido em
, pois
explodiria. Logo,
não é diferenciável em
, que pertence ao intervalo aberto
.
Passo 3
Como falta diferenciabilidade em
, uma hipótese essencial do TVM não se satisfaz. Portanto, não é possível aplicar o Teorema do Valor Médio a
em
.
Passo 4
Para aproximar
, definimos
e escolhemos um ponto próximo cujo valor exato sabemos, por exemplo
. Então
e
Chamamos
.
Passo 5
A aproximação por diferencial (linearização) diz
Resposta
O Teorema do Valor Médio não se aplica a
em
porque
falha em ser diferenciável em
.
Usando diferencial,
Usando diferencial,