Ache a dimensão e uma base do espaço solução do sistema
ccc x1-x2+x3-x4 & =0 x1-x2+x3 & =0 x1+x4 & =0

Passo 1

O enunciado pede a dimensão e uma base do espaço solução do sistema linear
x1-x2+x3-x4=0, x1-x2+x3=0, x1+x4=0
O conteúdo envolvido é resolução de sistema por eliminação de Gauss e interpretação do espaço solução como subespaço vetorial de R^4.

Passo 2

Note que a segunda equação é a primeira sem o termo -x4. Subtraindo a segunda da primeira obtemos
(x1-x2+x3-x4) - (x1-x2+x3) = 0 - 0 Longrightarrow -x4=0
Logo
x4=0

Passo 3

Substituindo x4=0 na terceira equação x1+x4=0 vem
x1+0=0 Longrightarrow x1=0

Passo 4

Com x1=0 e x4=0 a segunda equação x1-x2+x3=0 fica
0 - x2 + x3 = 0 Longrightarrow x3=x2
Definindo o parâmetro t = x2, temos
x1=0, x2=t, x3=t, x4=0,
ou seja, todo vetor solução é
(t,),(0,1,1,0) = t,(0,1,1,0)

Passo 5

Concluímos que o espaço solução é a reta gerada por (0,1,1,0). Portanto sua dimensão é 1 e uma base é
(0,1,1,0)

Resposta

A dimensão do espaço solução é 1 e uma base é (0,1,1,0).

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