Sejam [P]R=[lx y z] as coordenadas de um ponto P em relação ao sistema de coordenadas R=O, i, j, k, e PS=[cx^prime y^prime z^prime] as coordenadas em relação ao sistema S=O, U1, U2, U3. Se
[l x y z ]=[ccc 0 & 1 & 0 1 / 2 & 0 & raiz3 / 2 raiz3 / 2 & 0 & -1 / 2 ][l x^prime y^prime z^prime ]
encontre os vetores U1, U2 e U3.

Passo 1

O enunciado dá a relação de mudança de coordenadas
[P]R= 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & tfracraiz32 tfracraiz32 & 0 & -tfrac12 [P]S,
onde R=O,i,j,k é a base canônica e S=O,U1,U2,U3 é a base nova. O conteúdo aqui é mudança de base em R^3: a matriz que leva coordenadas de S para coordenadas de R tem como colunas exatamente as coordenadas dos vetores de S na base R.

Passo 2

Pela teoria de mudança de base, se
[P]R=M,[P]S,
então a j-ésima coluna de M é [Uj]R, ou seja, as coordenadas de Uj em relação à base i,j,k.

Passo 3

Identificamos as colunas da matriz
M= 0 & 1 & 0 tfrac12 & 0 & tfracraiz32 tfracraiz32 & 0 & -tfrac12
como
[U1]R=0tfrac12tfracraiz32, [U2]R=100, [U3]R=0tfracraiz32-tfrac12

Passo 4

Escrevemos cada Uj em termos de i,j,k:
U1=0,i+tfrac12,j+tfracraiz32,k, U2=1,i+0,j+0,k, U3=0,i+tfracraiz32,j-tfrac12,k

Resposta

U1=tfrac12,j+tfracraiz32,k U2=i U3=tfracraiz32,j-tfrac12,k

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