Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, que possa ser inscrita no elipsóide
16 x^2+4 y^2+9 z^2=144

Passo 1

O enunciado pede a caixa retangular de faces paralelas aos planos coordenados, inscrita no elipsóide
16x^2+4y^2+9z^2=144,
cujo volume V é máximo. O conteúdo da matéria é otimização com restrição (multiplicador de Lagrange). Vamos expressar V em função de (x,y,z) e impor a restrição do elipsóide.

Passo 2

Se a caixa tem vértices l(pm x,pm y,pm zr), seu volume é
V = (2x),(2y),(2z) = 8,x,y,z
E a restrição é
g(x,y,z) = 16x^2+4y^2+9z^2-144 = 0

Passo 3

Aplicamos Lagrange: definimos
L(x,y,z,lambda) = x,y,z - lambdal(16x^2+4y^2+9z^2-144r),
(suprimimos o fator constante 8 por conveniência, pois não altera o ponto crítico). As equações de primeira ordem são
partial Lpartial x: ; y,z = lambda,32x,
partial Lpartial y: ; x,z = lambda,8y,
partial Lpartial z: ; x,y = lambda,18z,
e a própria restrição 16x^2+4y^2+9z^2=144.

Passo 4

Para eliminar lambda, dividimos as duas primeiras equações:
y,zx,z = 32x8y Longrightarrow yx = 32x8y Longrightarrow y^2=4x^2 Longrightarrow y=2x
Em seguida dividimos a primeira pela terceira:
y,zx,y = 32x18z Longrightarrow zx = 32x18z Longrightarrow z^2=169,x^2 Longrightarrow z=43,x

Passo 5

Substituímos y=2x e z=tfrac43x na restrição:
16x^2 + 4,(2x)^2 + 9l(tfrac43xr)^2 = 144 ;Longrightarrow; 16x^2 + 16x^2 + 16x^2 = 144 ;Longrightarrow; 48x^2 = 144 ;Longrightarrow; x^2=3 ;Longrightarrow; x=raiz3
Logo
y = 2raiz3, z = 43,raiz3

Passo 6

As dimensões da caixa são 2x, 2y e 2z, portanto
comprimento em x = 2raiz3, em y = 4raiz3, em z = 8raiz33

Resposta

As dimensões da caixa de volume máximo são
2x = 2raiz3, 2y = 4raiz3, 2z = 8raiz33

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