Ache as dimensões da caixa retangular de volume máximo, com faces paralelas aos planos coordenados, que possa ser inscrita no elipsóide
Passo 1
O enunciado pede a caixa retangular de faces paralelas aos planos coordenados, inscrita no elipsóide
cujo volume
é máximo. O conteúdo da matéria é otimização com restrição (multiplicador de Lagrange). Vamos expressar
em função de
e impor a restrição do elipsóide.
Passo 2
Se a caixa tem vértices
, seu volume é
E a restrição é
Passo 3
Aplicamos Lagrange: definimos
(suprimimos o fator constante 8 por conveniência, pois não altera o ponto crítico). As equações de primeira ordem são
e a própria restrição
.
Passo 4
Para eliminar
, dividimos as duas primeiras equações:
Em seguida dividimos a primeira pela terceira:
Passo 5
Substituímos
e
na restrição:
Logo
Passo 6
As dimensões da caixa são
,
e
, portanto
Resposta
As dimensões da caixa de volume máximo são