Ache as dimensões do maior terreno retangular que pode ser fechado com 400 m . de cerca

Passo 1

O enunciado pede as dimensões do retângulo que maximize a área, sabendo que há 400 m de cerca disponíveis. O conteúdo é otimização de funções com derivadas, e vamos precisar expressar a área em função de uma única variável usando a restrição do perímetro.

Passo 2

Definimos x como o comprimento e y como a largura do terreno. O perímetro de um retângulo é
2(x+y)=400

Passo 3

Da equação do perímetro temos
x+y=200 Longrightarrow y=200 - x
A área é
A = x,y = x(200 - x) = -x^2 + 200x

Passo 4

Para achar o máximo, derivamos A(x):
A'(x) = ddx(-x^2 + 200x) = -2x + 200
Igualando a zero,
-2x + 200 = 0 Longrightarrow x = 100

Passo 5

Verificamos que é máximo calculando a segunda derivada:
A''(x) = ddx(-2x + 200) = -2 < 0,
então em x=100 a área atinge o valor máximo.

Passo 6

Substituindo x=100 em y=200 - x, vem
y = 200 - 100 = 100

Resposta

As dimensões do maior terreno são 100,m de comprimento por 100,m de largura.

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