Sendo a / b e c / d irredutíveis, com b e d relativamente primos, então a / b+c / d e a / b-c / d são ambas irredutíveis. Falso ou verdadeiro? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá duas frações irreduzíveis ab e cd, ou seja,
gcd(a,b)=1, gcd(c,d)=1,
e ainda gcd(b,d)=1. Queremos mostrar que
ab+cd=ad+bcbd e ab-cd=ad-bcbd
são também irredutíveis, isto é, que em cada caso o numerador e o denominador são coprimos.

Passo 2

Analisando a soma, escrevemos o numerador N=ad+bc e o denominador D=bd. Para provar que gcd(N,D)=1 usamos:
gcd(ad+bc,b)=gcd(ad,b)=gcd(a,b),gcd(d,b)=1cdot1=1,
gcd(ad+bc,d)=gcd(bc,d)=gcd(b,d),gcd(c,d)=1cdot1=1
Como gcd(b,d)=1, segue que
gcd(ad+bc,bd)=1
Logo ad+bcbd é irreduzível.

Passo 3

Para a diferença, o numerador é N'=ad-bc e o denominador D=bd. De modo análogo,
gcd(ad-bc,b)=gcd(ad,b)=1,
gcd(ad-bc,d)=gcd(bc,d)=1,
e com gcd(b,d)=1 concluímos
gcd(ad-bc,bd)=1
Portanto ad-bcbd também é irreduzível.

Resposta

Verdadeiro. Ambas as operações geram frações com numerador e denominador coprimos.

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