Dar condição suficiente, a mais geral que puder, garantindo que o quociente de a/b por c/d seja um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede uma condição em inteiros a,b,c,d que garanta que o quociente
a/bc/d
seja um número inteiro.
O conteúdo envolvido é divisibilidade de inteiros e, em particular, a condição para que uma fração seja inteira.

Passo 2

Reescrevendo o quociente em forma única, temos
a/bc/d = ab,cdotdc = a,db,c,
Portanto precisamos que o inteiro b,c “divida” o inteiro a,d.

Passo 3

Uma condição suficiente (e, de fato, necessária Também) para que
a,db,c
seja inteiro é simplesmente exigir
b,c mid a,d
Isto significa que existe kinZ tal que
a,d = k,(b,c),
e aí
a,db,c=kinZ.

Passo 4

Para tornar mais explícito em termos de fatores primos, escrevemos para cada primo p as valuations vp:
b,cmid a,d Long<=ftrightarrow vp(b)+vp(c);<=;vp(a)+vp(d) para todo primo p

Passo 5

Uma forma ainda mais prática, embora menos “compacta” que a condição de divisibilidade direta, é impor dois divisibilidades aparentes:
bmid a e cmid d
Pois daí
a = b,m, d = c,n Longrightarrow a,db,c = (b,m)(c,n)b,c = m,ninZ,
Isso é suficiente, mas não tão geral quanto a condição b,cmid a,d, pois aqui obrigamos divisões independentes em cada fator.

Resposta

Uma condição suficiente e a mais geral é simplesmente
b cdot c mid a cdot d,
que é equivalente a
vp(b) + vp(c) <= vp(a) + vp(d) forall p primo,
que garante que a/bc/d = a cdot db cdot c seja inteiro.

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