Dar condição suficiente, a mais geral que puder, garantindo que o quociente de a/b por c/d seja um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede uma condição em inteiros
que garanta que o quociente
seja um número inteiro.
O conteúdo envolvido é divisibilidade de inteiros e, em particular, a condição para que uma fração seja inteira.
O conteúdo envolvido é divisibilidade de inteiros e, em particular, a condição para que uma fração seja inteira.
Passo 2
Reescrevendo o quociente em forma única, temos
Portanto precisamos que o inteiro
“divida” o inteiro
.
Passo 3
Uma condição suficiente (e, de fato, necessária Também) para que
seja inteiro é simplesmente exigir
seja inteiro é simplesmente exigir
Isto significa que existe
tal que
e aí
.
Passo 4
Para tornar mais explícito em termos de fatores primos, escrevemos para cada primo
as valuations
:
Passo 5
Uma forma ainda mais prática, embora menos “compacta” que a condição de divisibilidade direta, é impor dois divisibilidades aparentes:
Pois daí
Isso é suficiente, mas não tão geral quanto a condição
, pois aqui obrigamos divisões independentes em cada fator.
Resposta
Uma condição suficiente e a mais geral é simplesmente
que é equivalente a
que garante que
seja inteiro.