Ache a distância entre as duas retas paralelas: 3 x+2 y=6 e 6 x+4 y=9. (Porque essas retas são paralelas?)

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas
3x + 2y = 6
e
6x + 4y = 9,
sabendo que elas são paralelas. O conteúdo aqui é a fórmula da distância entre duas retas paralelas e o reconhecimento de paralelismo a partir dos vetores normais.

Passo 2

Para ver que as retas são paralelas basta olhar os vetores normais.
A primeira reta tem normal
n1 = (3,2),
a segunda tem normal
n2 = (6,4) = 2,(3,2) = 2,n1
Como n2 é múltiplo escalar de n1, as retas são paralelas.

Passo 3

Escrevemos cada reta no formato
a x + b y + c = 0
A primeira reta fica
3x + 2y - 6 = 0,
a segunda, dividida por 2 para igualar a e b, fica
3x + 2y - tfrac92 = 0
Para duas retas paralelas a x + b y + c1 = 0 e a x + b y + c2 = 0, a distância entre elas é
d = l|c2 - c1r|raiza^2 + b^2

Passo 4

Aqui temos
c1 = -6, c2 = -tfrac92, a = 3, b = 2
Logo
c2 - c1 = -tfrac92 - (-6) = tfrac32,
e
raiza^2 + b^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz13
Portanto
d = tfrac32raiz13 = 32raiz13 = 3raiz1326

Resposta

A distância entre as retas é
32raiz13 (ou equiva<=ntes tfrac3raiz1326)
As retas são paralelas porque seus vetores normais (3,2) e (6,4) são proporcionais.

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