Mostre que a reta
l x=3 t-2 y=-4 t+1 z=4 t-5
é paralela ao plano 4 x-3 y-6 z-5=0

Passo 1

O enunciado dá a reta por
x = 3t - 2, y = -4t + 1, z = 4t - 5
e o plano por
4x - 3y - 6z - 5 = 0
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para mostrar que uma reta é paralela a um plano, basta verificar que o vetor direção da reta é orthogonal ao vetor normal do plano.

Passo 2

Extraímos o vetor direção da reta e o vetor normal do plano.
O vetor direção da reta é
vec v = (3,,-4,,4),
pois vem dos coeficientes de t nas equações paramétricas.
O vetor normal do plano é
vec n = (4,,-3,,-6),
que são os coeficientes de x,y,z na equação do plano.

Passo 3

Calculamos o produto escalar vec v cdot vec n:
vec v cdot vec n = 3cdot 4 + (-4)cdot(-3) + 4cdot(-6) = 12 + 12 - 24 = 0
Como o produto escalar é zero, vec v é orthogonal a vec n, logo a reta é paralela ao plano.

Resposta

A reta definida por
x = 3t - 2, y = -4t + 1, z = 4t - 5
é paralela ao plano
4x - 3y - 6z - 5 = 0,
pois seu vetor direção (3,-4,4) é orthogonal ao vetor normal (4,-3,-6).

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