Prove que as retas:
& x-15=y+2-6=z-56 & (x, y, z)=(3 t-7,2 t+2,-2 t+1)
são coplanares e determine a equação desse plano.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r:x-15=y+2-6=z-56
e
s:(x,y,z)=(3t-7,;2t+2,;-2t+1).
Queremos mostrar que r e s são coplanares (isto é, existe um plano que contém ambas) e encontrar a equação desse plano.
Para isso vamos usar vetores diretores, pontos de cada reta, produto vetorial e produto escalar triplo.

Passo 2

Parametrizando
tomamos em e o vetor diretor
.
Para a reta tomamos em o ponto e o vetor diretor
.

Passo 3

Critério de coplanaridade: duas retas cujos vetores diretores são vec vr e vec vs e que passam por P e Q são coplanares se e só se o vetor PQ estiver no mesmo plano gerado por vec vr e vec vs. Isso equivale a exigir
l(PQ,,vec vr,,vec vsr)=0,
onde (,,,,) é o produto escalar triplo.

Passo 4

Calculamos
PQ=Q-P=(-7-1,;2-(-2),;1-5)=(-8,;4,;-4)

Passo 5

Calculamos o produto vetorial
vec vrtimes vec vs =(5,-6,6)times(3,2,-2) =(0,;28,;28)

Passo 6

Agora o triplo escalar
PQcdot(vec vrtimes vec vs) =(-8,4,-4)cdot(0,28,28) =4cdot28+(-4)cdot28=112-112=0
Como é zero, concluímos que r e s são coplanares.

Passo 7

Para achar o plano comum, usamos como normal vec n=vec vrtimesvec vs=(0,28,28). Simplificando, vec n=(0,1,1). Usando o ponto P=(1,-2,5), a equação do plano é
vec ncdotl((x,y,z)-Pr)=0 Longrightarrow (0,1,1)cdot(x-1,;y+2,;z-5)=0
implies; (y+2)+(z-5)=0 ;Longrightarrow; y+z-3=0

Resposta

As retas são coplanares e a equação do plano que as contém é
boxedy+z=3

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