Determinar a distância do ponto a reta:
a) ponto (2,2,2) à reta
r:l x=2 t+1 y=3 t+2 z=5 t+1

Passo 1

O problema pede a distância do ponto A=(2,2,2) a uma reta r no espaço. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de distância ponto‐reta em R^3:
d = |P0Atimes v||v|,
onde P0 é um ponto qualquer da reta e v é seu vetor diretor.

Passo 2

Identificamos na parametrização
r: x=2t+1, y=3t+2, z=5t+1
um ponto quando t=0 e o vetor diretor. Assim, escolhemos
P0=(1,2,1), v=(2,3,5)

Passo 3

Calculamos o vetor P0A que vai de P0 ao ponto A:
P0A = (2,2,2)-(1,2,1) = (1,0,1)

Passo 4

Formamos o produto vetorial P0Atimes v:
P0Atimes v =det i&j&k 1&0&1 2&3&5 =(-3,,-3,,3)

Passo 5

Achamos as normas necessárias:
|P0Atimes v| =raiz(-3)^2+(-3)^2+3^2 =3raiz3,
|v| =raiz2^2+3^2+5^2 =raiz38
Logo, a distância é
d =3raiz3raiz38

Resposta

3raiz3raiz38

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