Ache a distância de um dos focos da hipérbole (x-2)^216-(y+1)^29=1 a uma de suas assíntotas.

Passo 1

O enunciado pede a distância de um dos focos da hipérbole
(x-2)^216-(y+1)^29=1
a uma de suas assíntotas.
O conteúdo principal é geometria analítica de cônicas: precisamos identificar o centro, os parâmetros a, b, c, localizar os focos, escrever as assíntotas e usar a fórmula de distância ponto–reta.

Passo 2

Reescrevendo a hipérbole na forma padrão com centro (2,-1), temos
a^2=16, b^2=9, c^2=a^2+b^2=16+9=25implies c=5
Logo os focos são
(2pm c,,-1)=(2pm5,,-1),
ou seja (7,-1) e (-3,-1).

Passo 3

As assíntotas de uma hipérbole horizontal centrada em (2,-1) são
y+1=pmba(x-2)=pm34(x-2)
Em forma geral Ax+By+C=0 elas ficam, para o sinal +:
y+1-34(x-2)=0;longrightarrow;-3x+4y+10=0 ;long<=ftrightarrow; 3x-4y-10=0,
e, para o sinal :
y+1+34(x-2)=0;longrightarrow;3x+4y-2=0

Passo 4

Vamos calcular a distância do foco (7,-1) à reta 3x-4y-10=0. A fórmula de distância é
d=l|A x0+B y0+Cr|raizA^2+B^2
Aqui A=3, B=-4, C=-10 e (x0,y0)=(7,-1), então
d=l|3cdot7-4cdot(-1)-10r|raiz3^2+(-4)^2 =|21+4-10|5 =155=3

Resposta

3

Exercícios relacionados