Considere a cônica C e a reta r com equação dada, respectivamente, por x^2+y^2-4x+10y+20=0 e x+y-k=0, em que k é uma constante real.
Determine os valores de k para os quais a reta r seja tangente, secante ou não intersepte a cônica C. (Resp.: )

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2+y^2-4x+10y+20=0
e a reta
r:;x+y-k=0,
onde k é parâmetro real.
O conteúdo aqui é identificação de uma circunferência por redução ao centro–raio e uso da distância do centro à reta para classificar interseção (secante, tangente ou externa).

Passo 2

Vamos completar quadrados na cônica para reconhecer uma circunferência.
x^2-4x+y^2+10y+20=0
l(x^2-4x+4r)-4+l(y^2+10y+25r)-25+20=0
(x-2)^2+(y+5)^2-9=0
Logo a cônica é
(x-2)^2+(y+5)^2=9,
isto é, circunferência de centro C=(2,-5) e raio R=3.

Passo 3

A distância de C=(2,-5) à reta x+y-k=0 é
d=l|2+(-5)-kr|raiz1^2+1^2 =l|-3-kr|raiz2 =|,k+3,|raiz2

Passo 4

Comparando d com o raio R=3:
  • Se d<3, a reta corta a circunferência em dois pontos (secante).
  • Se d=3, a reta é tangente à circunferência.
  • Se d>3, a reta não intercepta a circunferência.
Isto equivale a comparar tfrac|k+3|raiz2 com 3:
|k+3|raiz2<3 iff |k+3|<3raiz2,
|k+3|raiz2=3 iff |k+3|=3raiz2,
|k+3|raiz2>3 iff |k+3|>3raiz2

Resposta

Tangente:
k=-3pm3raiz2
Secante:
-3-3raiz2<k<-3+3raiz2
Não intercepta:
k<-3-3raiz2 ou k>-3+3raiz2

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