Considere a cônica C e a reta r com equação dada, respectivamente, por x^2+y^2-4x+10y+20=0 e x+y-k=0, em que k é uma constante real.
Identifique e esboce a cônica C. (Resp.: )

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2+y^2-4x+10y+20=0
e pede para identificar que tipo de cônica é e esboçá-la. Para isso vamos usar o método de completar quadrados, que nos leva à forma padrão de uma circunferência ou elipse.

Passo 2

Agrupamos termos de x e de y e completamos o quadrado em cada grupo:
x^2-4x ;+; y^2+10y ;+;20 =0
Escrevendo
x^2-4x = (x-2)^2-4,
y^2+10y = (y+5)^2-25,
substituímos na equação original:
(x-2)^2-4 ;+;(y+5)^2-25 ;+;20 = 0

Passo 3

Reunindo os termos constantes:
(x-2)^2 + (y+5)^2 -4 -25 +20 =0 Longrightarrow (x-2)^2 + (y+5)^2 -9 =0
Longrightarrow ;(x-2)^2 + (y+5)^2 = 9
Isso é a forma padrão de uma circunferência de centro (2,-5) e raio
r = raiz9 =3

Passo 4

Para esboçar a circunferência, marcamos o centro O(2,-5) e desenhamos ao redor um círculo de raio 3. Podemos indicar alguns pontos notáveis, por exemplo (2pm3,-5) e (2,-5pm3), e ligar suavemente para completar o contorno.

Resposta

A cônica C é uma circunferência de centro (2,-5) e raio 3.

Exercícios relacionados