Determinar o comprimento da corda que a reta x=4y-4 determina sobre a elipse x^2+4y^2=16.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da corda determinada pela reta x = 4y - 4 sobre a elipse x^2 + 4y^2 = 16. O conteúdo envolve dois tópicos principais:
  1. Encontrar os pontos de interseção da reta com a elipse (resolvendo o sistema).
  2. Calcular a distância entre esses dois pontos usando a fórmula da distância no plano.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, substituímos x = 4y - 4 em x^2 + 4y^2 = 16:
(4y - 4)^2 + 4y^2 = 16
Expandindo e simplificando, obtemos uma equação quadrática em y.

Passo 3

Expandindo:
16y^2 - 32y + 16 + 4y^2 = 16 Longrightarrow 20y^2 - 32y = 0 Longrightarrow 4y(5y - 8) = 0
Logo,
y = 0 ou y = tfrac85.
Substituindo em x = 4y - 4, obtemos
para y=0: x=-4,
para y=tfrac85:
x = 4!cdot!tfrac85 - 4 = tfrac325 - tfrac205 = tfrac125
Portanto, os pontos de interseção são
P1 = (-4,0), P2 = l(tfrac125,,tfrac85r)

Passo 4

O comprimento da corda é a distância entre P1 e P2:
d = raizl(x2 - x1r)^2 + l(y2 - y1r)^2 = raizl(tfrac125 - (-4)r)^2 + l(tfrac85 - 0r)^2 = raizl(tfrac325r)^2 + l(tfrac85r)^2 = tfrac15raiz32^2 + 8^2 = tfrac15raiz1088 = tfrac85raiz17

Resposta

85raiz17

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