A elipse 2x^2+3y^2=24 e a hipérbole x^2-y^2=5 se intersectam em 4 pontos A,B,C e D. Determine a área do retângulo ABCD.

Passo 1

O problema dá a elipse
2x^2+3y^2=24
e a hipérbole
x^2-y^2=5
e pede a área do retângulo formado pelos quatro pontos de interseção. Para resolver, vamos primeiro achar as coordenadas desses pontos resolvendo o sistema por substituição.

Passo 2

Da hipérbole x^2-y^2=5 isolamos
x^2=y^2+5

Passo 3

Substituímos essa expressão em 2x^2+3y^2=24:
2(y^2+5)+3y^2=24
2y^2+10+3y^2=24
5y^2=14
y^2=145
Então
x^2=y^2+5=145+5=14+255=395

Passo 4

As coordenadas dos pontos de interseção são
(pmraiztfrac395,,pmraiztfrac145)
Esses quatro pontos formam um retângulo centrado na origem com lados paralelos aos eixos.

Passo 5

Se denotamos
a=raiz395, b=raiz145,
então a base do retângulo vale 2a e a altura vale 2b. Logo a área é
A=(2a)(2b)=4,ab

Passo 6

Calculamos
ab=raiz395;raiz145 =raiz39cdot145 =raiz5465,
logo
A=4,ab =4cdotraiz5465 =4raiz5465

Resposta

A área do retângulo ABCD é
4raiz5465

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