Ache a distância entre o ponto P(1,2,3) e o plano que contém os pontos A(0,0,0), B(1,0,0) e C(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(1,2,3) e o plano que passa por A(0,0,0), B(1,0,0) e C(0,1,1). Para isso, vamos:
  1. Encontrar dois vetores diretores do plano,
  2. Calcular o vetor normal via produto vetorial,
  3. Escrever a equação do plano,
  4. Aplicar a fórmula da distância de ponto a plano:
d = \frac{\bigl|n\cdot (P - A)\bigr|}{\|n\|}\,.

Passo 2

Formamos os vetores diretores do plano a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (1,0,0) - (0,0,0) = (1,0,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (0,1,1) - (0,0,0) = (0,1,1).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial
n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} = (0,-1,1).

Passo 4

A equação do plano na forma n\cdot (X - A)=0 fica
(0,-1,1)\cdot(x-0,y-0,z-0)=0
ou seja
-y + z = 0.

Passo 5

Para a distância usamos
d = \frac{\bigl|n\cdot (P - A)\bigr|}{\|n\|}.
Aqui P - A = (1,2,3),
n\cdot (P-A) = (0,-1,1)\cdot(1,2,3) = -2 + 3 = 1,
e
\|n\| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
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d = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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