Determine a menor distância entre o ponto P(5,-2) e a reta y=-x+1.

Passo 1

O enunciado pede a menor distância entre o ponto P(5,-2) e a reta
y=-x+1.
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta Ax+By+C=0, que é
d=\frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C\bigr|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

Passo 2

Transformamos a equação y=-x+1 para a forma geral Ax+By+C=0.
Partindo de
y = -x + 1
somamos x e subtraímos 1 de ambos os lados para obter
x + y - 1 = 0.
Logo, A=1, B=1 e C=-1.

Passo 3

Aplicamos a fórmula da distância com (x_0,y_0)=(5,-2):
d=\frac{\bigl|1\cdot 5 + 1\cdot(-2) + (-1)\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{\bigl|5 - 2 - 1\bigr|}{\sqrt{2}} =\frac{\bigl|2\bigr|}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Simplificando o quociente, temos
d=\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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