O operador linear T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} definido por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t) é diagonalizável?
(dica: use o fato de que T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio \left(x-\lambda_{1}\right) .\left(x-\lambda_{2}\right) \ldots\left(x-\lambda_{r}\right) anula a matriz associada a T , sendo \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r} seus autovetores)
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 definido por
T(x,y,z,t) = (3x-4z,\;3y+5z,\;-z,\;-t)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Vamos usar a base canônica de \mathbb{R}^4, obter a matriz de T, encontrar seus autovalores e as dimensões dos respectivos autespaços.