O operador linear T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} definido por T(x, y, z, t)=(3 x-4 z, 3 y+5 z,-z,-t) é diagonalizável?
(dica: use o fato de que T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio \left(x-\lambda_{1}\right) .\left(x-\lambda_{2}\right) \ldots\left(x-\lambda_{r}\right) anula a matriz associada a T , sendo \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{r} seus autovetores)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 definido por
T(x,y,z,t) = (3x-4z,\;3y+5z,\;-z,\;-t)
e pede para verificar se T é diagonalizável. Vamos usar a base canônica de \mathbb{R}^4, obter a matriz de T, encontrar seus autovalores e as dimensões dos respectivos autespaços.

Passo 2

Na base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} temos
T(e_1) = (3,0,0,0),\quad T(e_2) = (0,3,0,0),\quad T(e_3) = (-4,5,-1,0),\quad T(e_4) = (0,0,0,-1).
Logo a matriz de T é
A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 3 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Como A é triangular, os autovalores são os elementos da diagonal:
\lambda_1 = 3\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2 = -1\quad(\text{multiplicidade algébrica }2).éé

Passo 4

Para \lambda=3 calculamos o autespaço resolvendo (A-3I)v=0.
A-3I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 &-4 \end{pmatrix}.
As equações impõem z=0 e t=0, enquanto x,y são livres. Portanto
\dim\ker(A-3I) = 2.

Passo 5

Para \lambda=-1 calculamos (A+I)v=0.
A+I = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -4 & 0\\\\ 0 & 4 & 5 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa vez x=z, y=-\tfrac{5}{4}z, e t fica livre. Logo
\dim\ker(A+I) = 2.

Passo 6

Temos soma das dimensões dos autespaços igual a 2+2=4=\dim\mathbb{R}^4. Isso implica que A (e portanto T) é diagonalizável.

Resposta

Sim, T é diagonalizável.

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