Dado o ponto P(0,0) e a reta r: x-y=7, calcule a distância entre eles.

Passo 1

O enunciado nos dá um ponto P=(0,0) e uma reta r\colon x - y = 7. O conteúdo é distância de um ponto a uma reta no plano cartesiano. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta Ax + By + C = 0:
d = \frac{\lvert A x_0 + B y_0 + C\rvert}{\sqrt{A^2 + B^2}}.

Passo 2

Reescrevemos a equação da reta r no formato Ax + By + C = 0. A reta dada é
x - y = 7
que equivale a
x - y - 7 = 0.
Portanto, A = 1, B = -1 e C = -7.

Passo 3

Substituímos (x_0,y_0) = (0,0) e os valores de A, B, C na fórmula:
d = \frac{\bigl\lvert 1\cdot 0 + (-1)\cdot 0 + (-7)\bigr\rvert}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{\lvert -7\rvert}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Para deixar a resposta num formato mais usual, racionalizamos o denominador:
\frac{7}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}.

Resposta

A distância entre o ponto P(0,0) e a reta x - y = 7 é
\frac{7}{\sqrt{2}} \quad\text{ou}\quad \frac{7\sqrt{2}}{2}.

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