Dado os vetores \vec{A}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} e \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} e o escalar K=4, determine:
o vetor K(\vec{A}+\vec{B});

Passo 1

O enunciado pede: determinar o vetor K(\vec{A}+\vec{B}) dados os vetores \vec{A}, \vec{B} e o escalar K.
Informações dadas:
\vec{A}=6\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}
\vec{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k}
K=4

Passo 2

Conceitos essenciais (explicação didática curta):
  • Um vetor em componentes cartesianas é escrito como soma das componentes ao longo dos vetores unitários \hat{i}, \hat{j}, \hat{k}. Aqui cada coeficiente (por exemplo 6 em 6\hat{i}) é a componente na direção \hat{i}.
  • Soma de vetores: somamos componente a componente. Se \vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j}+U_z\hat{k} e \vec{V}=V_x\hat{i}+V_y\hat{j}+V_z\hat{k}, então
\vec{U}+\vec{V}=(U_x+V_x)\hat{i}+(U_y+V_y)\hat{j}+(U_z+V_z)\hat{k}.
  • Multiplicação por escalar: multiplicar um escalar K por um vetor \vec{U}=U_x\hat{i}+U_y\hat{j}+U_z\hat{k} significa multiplicar cada componente por K:
K\vec{U}=(K U_x)\hat{i}+(K U_y)\hat{j}+(K U_z)\hat{k}.
  • Propriedade útil (distributiva): K(\vec{A}+\vec{B})=K\vec{A}+K\vec{B}. Vou usar a definição direta (somar primeiro, depois multiplicar) e depois mostrar checagem pela propriedade distributiva.

Passo 3

Calcular \vec{A}+\vec{B} componente a componente:
  • Componente \hat{i}: 6+2. Em TeX: 6+2=8. Logo (\vec{A}+\vec{B})_{\hat{i}}=8.
  • Componente \hat{j}: -2+3. Em TeX: -2+3=1. Logo (\vec{A}+\vec{B})_{\hat{j}}=1.
  • Componente \hat{k}: 3+(-1). Em TeX: 3+(-1)=2. Logo (\vec{A}+\vec{B})_{\hat{k}}=2.
Portanto
\vec{A}+\vec{B}=8\hat{i}+1\hat{j}+2\hat{k}.

Passo 4

Agora multiplicar o vetor \vec{A}+\vec{B} pelo escalar K=4. Aplicando a regra de multiplicação por escalar (multiplicar cada componente por K):
  • Componente \hat{i}: 4\cdot 8. Em TeX: 4\cdot 8=32.
  • Componente \hat{j}: 4\cdot 1. Em TeX: 4\cdot 1=4.
  • Componente \hat{k}: 4\cdot 2. Em TeX: 4\cdot 2=8.
Logo
K(\vec{A}+\vec{B})=32\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}.

Passo 5

Checagem usando a propriedade distributiva (exemplo extra para você aprender e confirmar):
  • Calcular K\vec{A}:
K\vec{A}=4(6\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})=24\hat{i}-8\hat{j}+12\hat{k}.
  • Calcular K\vec{B}:
K\vec{B}=4(2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k})=8\hat{i}+12\hat{j}-4\hat{k}.
  • Somar K\vec{A}+K\vec{B} componente a componente:
(24+8)\hat{i}+(-8+12)\hat{j}+(12+(-4))\hat{k}=32\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k},
que coincide com o resultado do passo anterior. Assim está confirmado.

Resposta

K(\vec{A}+\vec{B})=32\hat{i}+4\hat{j}+8\hat{k}

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