Dado os vetores \vec{A}=6 \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k} e \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k} e o escalar K=4, determine:
o vetor \vec{A}-K \vec{B};

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede um único resultado:
\vec{A}=6\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}, \vec{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-\hat{k} e K=4.
A pergunta é: determine o vetor \vec{A}-K\vec{B}.
Não vou resolver nada neste passo, só listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Entendendo multiplicação de vetor por escalar (aula rápida e prática).
Seja um vetor genérico \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k} e um escalar c.
A multiplicação por escalar é feita componente a componente:
c\vec{v} = (c v_x)\hat{i} + (c v_y)\hat{j} + (c v_z)\hat{k}.
Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes do vetor \vec{v} nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}; multiplicamos cada uma delas por c.
Exemplo curto: se \vec{v}= (1)\hat{i}+(2)\hat{j}+(3)\hat{k} e c=2, então
2\vec{v}=2\cdot1\hat{i}+2\cdot2\hat{j}+2\cdot3\hat{k}=2\hat{i}+4\hat{j}+6\hat{k}.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso para calcular K\vec{B}.
Escrevemos \vec{B}=2\hat{i}+3\hat{j}-1\hat{k} (observe que -\hat{k}=-1\hat{k}).
Multiplicando cada componente por K=4 usando a fórmula do passo anterior:
K\vec{B}=4\cdot2\hat{i}+4\cdot3\hat{j}+4\cdot(-1)\hat{k}.
Agora faço as multiplicações escalares:
4\cdot2\hat{i}=8\hat{i},\qquad 4\cdot3\hat{j}=12\hat{j},\qquad 4\cdot(-1)\hat{k}=-4\hat{k}.

Passo 4

Conclusão do passo anterior em forma compacta (ainda não finalizo a subtração):
Portanto, K\vec{B} tem componentes 8 na direção \hat{i}, 12 na direção \hat{j} e -4 na direção \hat{k}.
Em notação de componentes: K\vec{B}=(8,\,12,\, -4).

Passo 5

Entendendo subtração de vetores (outra mini-aula).
Se \vec{u}=u_x\hat{i}+u_y\hat{j}+u_z\hat{k} e \vec{v}=v_x\hat{i}+v_y\hat{j}+v_z\hat{k}, então
\vec{u}-\vec{v}=(u_x-v_x)\hat{i}+(u_y-v_y)\hat{j}+(u_z-v_z)\hat{k}.
Ou seja, subtraímos componente a componente. Isso é direto e é a mesma ideia da multiplicação por escalar, só que com diferença.

Passo 6

Aplicando a subtração componente a componente para \vec{A}-K\vec{B}.
As componentes de \vec{A} são 6 (em \hat{i}), -2 (em \hat{j}) e 3 (em \hat{k}).
As componentes de K\vec{B} (do passo 4) são 8, 12 e -4.
Agora subtraio componente a componente:
\text{componente em }\hat{i}: \; 6 - 8 = -2,
\text{componente em }\hat{j}: \; -2 - 12 = -14,
\text{componente em }\hat{k}: \; 3 - (-4) = 3 + 4 = 7.
Esses três números são as componentes do vetor resultado (a montagem final aparece só na seção de resposta).

Resposta

\vec{A}-K\vec{B}=-2\hat{i}-14\hat{j}+7\hat{k}

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