Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60^circ com v=<3,4>.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois vetores unitários que formem um ângulo de 60^circ com o vetor vec v=lang<=3,4rang<=. O conteúdo usado será a fórmula do produto escalar e norma para ângulo entre vetores:
costheta=vec ucdot vec v|vec u||vec v|

Passo 2

Calcular a norma de vec v:
|vec v|=raiz3^2+4^2=5
Como queremos |vec u|=1 e theta=60^circ, temos
cos60^circ=vec ucdotvec v1cdot 5=12 Longrightarrow vec ucdotvec v=52

Passo 3

Escrevemos vec u=(a,b). Então as equações são
a^2+b^2=1,
3a+4b=52

Passo 4

Da segunda equação,
b=tfrac52-3a4=58-3a4
Substituindo em a^2+b^2=1 e simplificando chega-se à equação quadrática
100a^2-60a-39=0,
cuja solução é
a=3pm4raiz310

Passo 5

Para cada valor de a, calculamos
b=58-3a4
Assim obtemos duas soluções:
a1=3+4raiz310, b1=4-3raiz310,
a2=3-4raiz310, b2=4+3raiz310

Resposta

vec u1=llang<=3+4raiz310,,4-3raiz310rrang<=,
vec u2=llang<=3-4raiz310,,4+3raiz310rrang<=

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