Determine o produto vetorial a times b e verifique que ele é ortogonal a a e b.
c) a=i+3 j-2 k, b=-i+5 k

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial atimesb e mostrar que esse resultado é ortogonal a a e a b. O conteúdo usado é a definição do produto vetorial em R^3 via determinante e a propriedade de que, para quaisquer vetores u,v, vale ucdot(utimesv)=0 e vcdot(utimesv)=0.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as componentes de
a=i+3j-2k e b=-i+5k
na forma de tuplas:
a=(1,,3,,-2), b=(-1,,0,,5)

Passo 3

Aplicamos a fórmula do produto vetorial como determinante:
atimesb = i & j & k 1 & 3 & -2 -1 & 0 & 5
Expandindo, temos
atimesb =i,(3cdot5-(-2)cdot0) -j,(1cdot5-(-2)cdot(-1)) +k,(1cdot0-3cdot(-1))
Isso dá
atimesb =15,i-3,j+3,k

Passo 4

Para verificar a ortogonalidade, calculamos os produtos escalares:
acdot(atimesb) = (1),15+(3)(-3)+(-2),3 =15-9-6=0,
bcdot(atimesb) = (-1),15+0cdot(-3)+5cdot3 =-15+0+15=0
Como ambos são zero, atimesb é ortogonal a a e a b.

Resposta

atimesb =15,i-3,j+3,k,
e de fato
acdot(atimesb)=0
e
bcdot(atimesb)=0,
mostrando a ortogonalidade.

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