1. Ache dois vetores unitários que façam um ângulo de 60^circ com v=lang<= 3,4rang<=.
29-30 Encontre o ângulo agudo entre as retas.
29. 2 x-y=3,3 x+y=7
30. x+2 y=7, 5 x-y=2

Passo 1

O enunciado apresenta três problemas: ( 1) achar dois vetores unitários que formem ângulo de 60circ com v=lang<=3,4rang<=; ( 2) encontrar o ângulo agudo entre as retas 2x - y = 3 e 3x + y = 7; ( 3) encontrar o ângulo agudo entre as retas x + 2y = 7 e 5x - y = 2. Vamos usar produto escalar para vetor unitário e para ângulo entre diretores de reta.

Passo 2

Resolvendo o problema 28: seja u=(x,y) um vetor unitário que faça 60circ com v. Então |u|=1 e
ucdotv ;=;|u||v|cos60^circ ;=;1cdot5cdot12 ;=;52
Isso gera o sistema
x^2 + y^2 = 1,
3x + 4y = 52

Passo 3

Isolando y de 3x+4y=tfrac52, vem y=tfrac5-6x8. Substituindo em x^2+y^2=1 obtemos
100x^2 - 60x - 39 = 0,
cuja solução é
x = 60 pm raiz3600 + 15600200 = 60 pm 80raiz3200 = 3 pm 4raiz310
Para cada x correspondente,
y = 5 - 6x8 = 4-3raiz310, & x = 3+4raiz310,[1ex] 4+3raiz310, & x = 3-4raiz310
Logo os dois vetores unitários são
u1 = l(tfrac3+4raiz310,,tfrac4-3raiz310r), u2 = l(tfrac3-4raiz310,,tfrac4+3raiz310r)
]

Passo 4

Resolvendo o problema 29: as retas 2x - y = 3 e 3x + y = 7 têm normais (2,-1) e (3,1). Vetores diretores ortogonais a esses normais podem ser
d1=(1,2) e d2=(1,-3). Então
cosphi = |d1cdotd2||d1||d2| = |1cdot1 + 2cdot(-3)|raiz5raiz10 = 5raiz50 = 1raiz2,
logo phi = 45^circ.

Passo 5

Resolvendo o problema 30: as retas x + 2y = 7 e 5x - y = 2 têm normais (1,2) e (5,-1). Vetores diretores ortogonais são
v1=(-2,1) e v2=(1,5). Então
costheta = |v1cdotv2||v1||v2| = |-2cdot1 + 1cdot5|raiz5raiz26 = 3raiz130,
logo
theta = arccos!l(tfrac3raiz130r)approx75^circ

Resposta

28.
u1 = l(tfrac3+4raiz310,,tfrac4-3raiz310r), u2 = l(tfrac3-4raiz310,,tfrac4+3raiz310r)
29. 45^circ 30. arccos!l(tfrac3raiz130r)approx75^circ

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