Ache o domínio de f e descreva a região em R^{3} que seja o conjunto de pontos no domínio.
f(x, y, z)=\sqrt{16-x^{2}-4 y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y,z)=\sqrt{16 - x^2 - 4y^2 - z^2}
e pede o domínio de f e a descrição da região correspondente em \mathbb{R}^3. Para que a raiz quadrada seja bem-definida, precisamos que o radicando seja não-negativo, ou seja,
16 - x^2 - 4y^2 - z^2 \;\ge\; 0.

Passo 2

Impondo a condição
16 - x^2 - 4y^2 - z^2 \ge 0
e reorganizando, obtemos
x^2 + 4y^2 + z^2 \;\le\; 16.

Passo 3

Para reconhecer melhor a forma geométrica, dividimos ambos os lados por 16:
\frac{x^2}{16} + \frac{4y^2}{16} + \frac{z^2}{16} \;\le\; 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} + \frac{z^2}{4^2} \;\le\; 1.
Isso mostra que a região é o interior (mais a superfície) de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos de comprimentos 4 ao longo de x, 2 ao longo de y e 4 ao longo de z.

Passo 4

Portanto, o domínio de f é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + 4y^2 + z^2 \le 16 \bigr\},
que geometricamente é o interior fechado do elipsoide
\frac{x^2}{4^2} + \frac{y^2}{2^2} + \frac{z^2}{4^2} = 1.

Resposta

O domínio de f é
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + 4y^2 + z^2 \le 16\},
isto é, o interior fechado do elipsoide de semi-eixos 4, 2 e 4 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

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