Determine o domínio da função f e faça um esboço mostrando como uma região em R^{2} seja o conjunto de pontos do domínio de f. Use curvas pontilhadas para indicar qualquer parte do limite que não esteja no domínio e curvas em linhas contínuas para indicar partes do limite no domínio.
f(x, y)=\cos ^{-1}(x-y)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\cos^{-1}(x-y)
ou seja, o conjunto de todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 para os quais o argumento de \cos^{-1} está definido. O conteúdo aqui é a definição da função arco-cosseno, que exige que o seu argumento esteja no intervalo [-1,1].

Passo 2

Para que \cos^{-1}(x-y) seja bem definida, devemos ter
-1 \;\le\; x - y \;\le\; 1.

Passo 3

Reescrevendo a dupla desigualdade em termos de y, temos
-1 \le x - y \quad\Longleftrightarrow\quad y \le x + 1,
x - y \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad y \ge x - 1.
Portanto o domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - 1 \le y \le x + 1\bigr\}.

Passo 4

As retas que formam o limite de D são
L_1:\;y = x + 1, \qquad L_2:\;y = x - 1.
Como -1\le x-y\le1 é uma desigualdade fechada, ambas as retas estão incluídas no domínio. Logo, no esboço devemos desenhar L_1 e L_2 com linhas contínuas e sombrear a região entre elas.

Passo 5

Esboço em \mathbb{R}^2:
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Trace a reta y=x+1 e a reta y=x-1 com linhas contínuas.
  • A região entre essas duas linhas (incluindo as próprias linhas) é o domínio de f.
Veja uma representação aproximada (supondo setas nas extremidades dos eixos):
\begin{array}{c} \text{y} \\\ \uparrow \\\ \left| \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- Linha } y=x+1 \end{array}
\begin{array}{l} \quad / \\\ \quad/ \\\ \quad/ \text{ Região de domínio (sombreada)} \end{array}ãí
\text{──────}\to \text{x}
\begin{array}{l} \quad\backslash \\\ \quad \backslash \\\ \quad \text{--- --- --- --- --- --- --- --- --- Linha } y=x-1 \end{array}
As linhas são contínuas porque pertencem ao domínio.

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le x - y \le 1\bigr\},
isto é, a faixa de pontos situada entre as retas y = x - 1 e y = x + 1, com essas retas incluídas no domínio.

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