Determine x>0 para que a série sumn=1^+infty n!x^nn^n seja convergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar os valores de $ x > 0 $ que fazem a série x > 0 convergir. Isso envolve conceitos de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para verificar se uma série infinita vai somar até um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando a razão entre termos consecutivos. Se o limite dessa razão for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
No nosso caso, a série é sumn=1^+infty n!x^nn^n. Vamos chamar o termo geral de $ a_n = \frac{n!x{n}}{n{n}} $. Então, precisamos calcular o limite de $ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| $ quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 3

Vamos montar a razão entre $ a_{n+1} $ e $ a_n $:
Simplificando:
an+1
Sabemos que:
an
Portanto, o limite fica:
an+1an = (n+1)!x^n+1/(n+1)^n+1n!x^n/n^n = (n+1) cdot x cdot n^n(n+1)^n+1

Passo 4

Aplicando o Teste da Razão:
  • Se $ x \cdot \frac{1}{e} < 1 $, a série converge.
  • Se $ x \cdot \frac{1}{e} > 1 $, a série diverge.
  • Se $ x \cdot \frac{1}{e} = 1 $, o teste é inconclusivo.
Resolvendo a desigualdade $ x \cdot \frac{1}{e} < 1 $:
x cdot 1e < 1

Resposta

A série sumn=1^+infty n!x^nn^n converge para todos os números reais positivos $ x $ tais que $ x < e $. Ou seja, para $ 0 < x < e $.

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