Ache duas linhas retas de inclinação 23 que fazem com os eixos coordenados um triângulo de área 43.

Passo 1

O enunciado pede encontrar as retas de inclinação tfrac23 que interceptam os eixos coordenados formando um triângulo de área tfrac43. Vamos usar a forma reduzida da reta e a fórmula da área de um triângulo cujos vértices estão na origem e nos pontos de interseção com os eixos:
A = tfrac12,|x0|;|y0|,
onde (x0,0) e (0,y0) são os interceptos.

Passo 2

Escrevemos a reta genérica com inclinação tfrac23:
y = tfrac23 x + b
Seu intercepto no eixo y é o ponto (0,b). Para achar o intercepto no eixo x, fazemos 0 = tfrac23 x + b, obtendo
x = -tfrac32,b,
logo o ponto de interseção é l(-tfrac32 b,0r).

Passo 3

Os vértices do triângulo são (0,0), l(-tfrac32 b,0r) e (0,b). Assim a área vale
A = tfrac12 ,l|!-tfrac32 br|;|b| = tfrac12cdottfrac32,|b|^2 = tfrac34,b^2
Queremos tfrac34,b^2 = tfrac43, daí
b^2 = tfrac169 Longrightarrow b = pm tfrac43

Passo 4

Substituindo b=tfrac43 e b=-tfrac43 na forma reduzida, obtemos as duas retas procuradas:
y = tfrac23 x + tfrac43 e y = tfrac23 x - tfrac43

Resposta

y = tfrac23 x + tfrac43
y = tfrac23 x - tfrac43

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