Ache duas matrizes A e B para mostrar que nem sempre é verdade que (A B)^-1= A^-1 B^-1.

Passo 1

Queremos dar um exemplo de duas matrizes invertíveis A e B tais que
(AB)^-1neq A^-1B^-1
Lembrando que a identidade correta é (AB)^-1=B^-1A^-1, então basta escolher A e B tais que a troca da ordem em A^-1B^-1 torne os resultados diferentes.

Passo 2

Escolhemos duas matrizes diagonais/superiores que são fáceis de inverter, por exemplo
A = 1 & 0 0 & 2, B = 1 & 3 0 & 1
Ambas são invertíveis porque seus determinantes são não nulos.

Passo 3

Calculamos o produto
AB = 1 & 0 0 & 2 1 & 3 0 & 1 = 1cdot1+0cdot0 & 1cdot3+0cdot1 0cdot1+2cdot0 & 0cdot3+2cdot1 = 1 & 3 0 & 2
Em seguida, invertendo essa matriz triangular superior, temos
(AB)^-1 = 1 & 3 0 & 2^-1 = 1 & -tfrac32 0 & tfrac12

Passo 4

Agora calculamos A^-1 e B^-1 separadamente:
A^-1 = 1 & 0 0 & tfrac12, B^-1 = 1 & -3 0 & 1
Multiplicando na ordem proposta A^-1B^-1, obtemos
A^-1B^-1 = 1 & 0 0 & tfrac12 1 & -3 0 & 1 = 1 & -3 0 & tfrac12

Passo 5

Comparando
(AB)^-1 = 1 & -tfrac32 0 & tfrac12 e A^-1B^-1 = 1 & -3 0 & tfrac12,
vemos que a entrada (1,2) difere ( -tfrac32 versus -3). Logo
(AB)^-1neq A^-1B^-1

Resposta

Uma escolha possível é
A = 1 & 0 0 & 2, B = 1 & 3 0 & 1,
pois para elas (AB)^-1neq A^-1B^-1.

Exercícios relacionados