Ache duas matrizes
e
para mostrar que nem sempre é verdade que
.
Passo 1
Queremos dar um exemplo de duas matrizes invertíveis
e
tais que
Lembrando que a identidade correta é
, então basta escolher
e
tais que a troca da ordem em
torne os resultados diferentes.
Passo 2
Escolhemos duas matrizes diagonais/superiores que são fáceis de inverter, por exemplo
Ambas são invertíveis porque seus determinantes são não nulos.
Passo 3
Calculamos o produto
Em seguida, invertendo essa matriz triangular superior, temos
Passo 4
Agora calculamos
A^-1 e
B^-1 separadamente:
Multiplicando na ordem proposta
A^-1B^-1 , obtemos
Passo 5
Comparando
vemos que a entrada
(1,2) difere (
-tfrac32 versus
-3 ). Logo
Resposta
Uma escolha possível é
pois para elas
(AB)^-1neq A^-1B^-1 .