Mostre que a única matriz de tamanho
idempotente e invertível é a matriz identidade
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz
(sobre algum corpo
) satisfaz
(e isto é o que chamamos de idempotência) e é invertível (isto é, existe
), então necessariamente
Passo 2
Como
é idempotente, temos
Como
é invertível, podemos multiplicar essa igualdade à esquerda por
, obtendo
Passo 3
Usando a propriedade de inverso,
, e associatividade de multiplicação de matrizes, a expressão do passo anterior vira
ou seja
Como
, concluímos
Resposta
A única matriz
idempotente e invertível é
.