Mostre que a única matriz de tamanho n times n idempotente e invertível é a matriz identidade In.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma matriz Ain Mn(Bbb K) (sobre algum corpo Bbb K) satisfaz
A^2 = A
(e isto é o que chamamos de idempotência) e é invertível (isto é, existe A^-1), então necessariamente
A = In

Passo 2

Como A é idempotente, temos
A^2 = A
Como A é invertível, podemos multiplicar essa igualdade à esquerda por A^-1, obtendo
A^-1A^2 = A^-1A

Passo 3

Usando a propriedade de inverso, A^-1A = In, e associatividade de multiplicação de matrizes, a expressão do passo anterior vira
l(A^-1Ar)A = In,
ou seja
In,A = In
Como InA = A, concluímos
A = In

Resposta

A única matriz ntimes n idempotente e invertível é In.

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